SERIA: ZADANIA MATURALNE Z ROZWIĄZANIAMI
10 najpopularniejszych typów zadań z trygonometrii, które pojawiają się na maturze podstawowej i rozszerzonej. Równania trygonometryczne, tożsamości, funkcje - wszystko z pełnymi rozwiązaniami!
Zadania oparte na rzeczywistych egzaminach maturalnych
Szczegółowe wyjaśnienia każdego kroku
Typowe pułapki i wskazówki
Spis treści
- Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów specjalnych
- Proste równania trygonometryczne sin x = a
- Równania z cos x i tan x
- Dowodzenie tożsamości trygonometrycznych
- Równania sprowadzalne do kwadratowych
- Wzory redukcyjne
- Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym
- Wzory na sumę i różnicę kątów
- Własności funkcji trygonometrycznych
- Zadania z trójkąta dowolnego (tw. sinusów, cosinusów)
PRZED ROZPOCZĘCIEM - WZORY DO ZAPAMIĘTANIA:
Jedynka trygonometryczna:
sin²α + cos²α = 1
Definicje:
tan α = sin α / cos α
cot α = cos α / sin α = 1 / tan α
Wartości dla kątów specjalnych (0°, 30°, 45°, 60°, 90°):
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan α | 0 | √3/3 | 1 | √3 | - |
Zadanie 1: Kąty specjalne
Zadanie (3 pkt):
Oblicz wartość wyrażenia:
W = sin 30° + cos 60° - tan 45° + 2·sin²45°
Rozwiązanie:
Krok 1: Podstawiamy wartości z tablicy
sin 30° = 1/2
cos 60° = 1/2
tan 45° = 1
sin 45° = √2/2
Krok 2: Podstawiamy do wyrażenia
W = 1/2 + 1/2 - 1 + 2·(√2/2)²
W = 1/2 + 1/2 - 1 + 2·(2/4)
W = 1/2 + 1/2 - 1 + 2·(1/2)
W = 1/2 + 1/2 - 1 + 1
Krok 3: Obliczamy
W = 1/2 + 1/2 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1
Odpowiedź: W = 1
WSKAZÓWKA:
Zauważ że sin 30° = cos 60° = 1/2. To nie przypadek! Ogólnie sin α = cos(90° - α)
Zadanie 2: Równanie sin x = a
Zadanie (4 pkt):
Rozwiąż równanie w przedziale [0°, 360°):
sin x = √3/2
Rozwiązanie:
Krok 1: Rozpoznajemy kąt specjalny
Z tablicy: sin 60° = √3/2
Więc jeden pierwiastek to x₁ = 60°
Krok 2: Szukamy drugiego pierwiastka
Funkcja sinus jest dodatnia w I i II ćwiartce
W II ćwiartce: x₂ = 180° - 60° = 120°
Krok 3: Sprawdzamy okres
Okres sinusa to 360°, więc w przedziale [0°, 360°) nie ma więcej rozwiązań
Odpowiedź: x = 60° lub x = 120°
ALGORYTM DLA SIN X = A:
- Sprawdź czy |a| ≤ 1 (jeśli nie, brak rozwiązań)
- Znajdź kąt podstawowy α taki, że sin α = a
- Pierwsze rozwiązanie: x₁ = α
- Drugie rozwiązanie: x₂ = 180° - α
- Dodaj wielokrotności okresu (360°) jeśli trzeba
Zadanie 3: Równanie cos x = a
Zadanie (4 pkt):
Rozwiąż równanie w przedziale [0, 2π]:
2 cos x + 1 = 0
Rozwiązanie:
Krok 1: Przekształcamy równanie
2 cos x + 1 = 0
2 cos x = -1
cos x = -1/2
Krok 2: Rozpoznajemy kąt
Z tablicy: cos 60° = 1/2
Ale potrzebujemy cos x = -1/2 (ujemne!)
Krok 3: Określamy ćwiartki
Cosinus jest ujemny w II i III ćwiartce
II ćwiartka: x₁ = π - π/3 = 2π/3
III ćwiartka: x₂ = π + π/3 = 4π/3
Odpowiedź: x = 2π/3 lub x = 4π/3
ZNAKI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH:
- I ćwiartka (0° - 90°): sin > 0, cos > 0, tan > 0
- II ćwiartka (90° - 180°): sin > 0, cos < 0, tan < 0
- III ćwiartka (180° - 270°): sin < 0, cos < 0, tan > 0
- IV ćwiartka (270° - 360°): sin < 0, cos > 0, tan < 0
Zadanie 4: Tożsamości trygonometryczne
Zadanie (5 pkt):
Udowodnij tożsamość:
(sin α + cos α)² + (sin α - cos α)² = 2
Rozwiązanie:
Metoda 1: Rozwijanie nawiasów
Krok 1: Rozwijamy pierwszy nawias
(sin α + cos α)² = sin²α + 2sin α cos α + cos²α
Krok 2: Rozwijamy drugi nawias
(sin α - cos α)² = sin²α - 2sin α cos α + cos²α
Krok 3: Dodajemy obydwa wyrażenia
L = (sin²α + 2sin α cos α + cos²α) + (sin²α - 2sin α cos α + cos²α)
L = sin²α + cos²α + sin²α + cos²α + 2sin α cos α - 2sin α cos α
L = 2sin²α + 2cos²α
L = 2(sin²α + cos²α)
Krok 4: Wykorzystujemy jedynkę trygonometryczną
sin²α + cos²α = 1
L = 2·1 = 2 = P ✓
Wniosek: Tożsamość jest prawdziwa.
KLUCZOWE TOŻSAMOŚCI:
- sin²α + cos²α = 1 (najważniejsza!)
- 1 + tan²α = 1/cos²α
- 1 + cot²α = 1/sin²α
- tan α · cot α = 1
Zadanie 5: Równanie kwadratowe
Zadanie (5 pkt):
Rozwiąż równanie w przedziale [0°, 360°):
2sin²x - sin x - 1 = 0
Rozwiązanie:
Krok 1: Podstawienie
Niech t = sin x, gdzie t ∈ [-1, 1]
Równanie: 2t² - t - 1 = 0
Krok 2: Rozwiązujemy równanie kwadratowe
a = 2, b = -1, c = -1
Δ = (-1)² - 4·2·(-1) = 1 + 8 = 9
√Δ = 3
t₁ = (1 - 3)/(2·2) = -2/4 = -1/2
t₂ = (1 + 3)/(2·2) = 4/4 = 1
Krok 3: Powrót do zmiennej x
Dla t₁ = -1/2:
sin x = -1/2
Sinus ujemny w III i IV ćwiartce
Kąt podstawowy: 30°
x₁ = 180° + 30° = 210°
x₂ = 360° - 30° = 330°
Dla t₂ = 1:
sin x = 1
x₃ = 90°
Odpowiedź: x ∈ {90°, 210°, 330°}
UWAGA:
Po podstawieniu t = sin x pamiętaj, że t ∈ [-1, 1]. Jeśli otrzymasz rozwiązanie spoza tego przedziału, odrzuć je!
Zadanie 6: Wzory redukcyjne
Zadanie (3 pkt):
Oblicz wartość wyrażenia:
W = sin 150° + cos 240° - tan 135°
Rozwiązanie:
Krok 1: sin 150°
150° jest w II ćwiartce
sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2
Krok 2: cos 240°
240° jest w III ćwiartce
cos 240° = cos(180° + 60°) = -cos 60° = -1/2
Krok 3: tan 135°
135° jest w II ćwiartce
tan 135° = tan(180° - 45°) = -tan 45° = -1
Krok 4: Obliczamy
W = 1/2 + (-1/2) - (-1)
W = 1/2 - 1/2 + 1
W = 1
Odpowiedź: W = 1
WZORY REDUKCYJNE - KLUCZOWA ZASADA:
- sin(180° - α) = sin α
- sin(180° + α) = -sin α
- cos(180° - α) = -cos α
- cos(180° + α) = -cos α
- tan(180° + α) = tan α
Zadanie 7: Trójkąt prostokątny
Zadanie (5 pkt):
W trójkącie prostokątnym ABC kąt prosty jest przy wierzchołku C. Przeciwprostokątna AB = 10 cm, a sin α = 0,6, gdzie α to kąt przy wierzchołku A.
a) Oblicz długość przyprostokątnej BC (2 pkt)
b) Oblicz cos α (2 pkt)
c) Oblicz tan α (1 pkt)
Rozwiązanie:
a) Długość BC:
BC jest przeciwprostokątną do kąta α
sin α = BC / AB
0,6 = BC / 10
BC = 10 · 0,6 = 6 cm
b) cos α:
Metoda 1: Z twierdzenia Pitagorasa
AC² + BC² = AB²
AC² + 6² = 10²
AC² = 100 - 36 = 64
AC = 8 cm
cos α = AC / AB = 8 / 10 = 0,8
Metoda 2: Z jedynki trygonometrycznej
sin²α + cos²α = 1
(0,6)² + cos²α = 1
0,36 + cos²α = 1
cos²α = 0,64
cos α = 0,8 (dodatnie, bo α jest kątem ostrym)
c) tan α:
tan α = sin α / cos α = 0,6 / 0,8 = 6/8 = 3/4 = 0,75
Lub z definicji geometrycznej:
tan α = BC / AC = 6 / 8 = 3/4 = 0,75
W TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM:
- sin α = przeciwprostokątna / przeciwprostokątna
- cos α = przyprostokątna przyległa / przeciwprostokątna
- tan α = przyprostokątna przeciwległa / przyprostokątna przyległa
Zadanie 8: Wzory na sumę kątów
Zadanie (5 pkt):
Oblicz sin 75° używając wzoru na sinus sumy kątów.
Wskazówka: 75° = 45° + 30°
Rozwiązanie:
Krok 1: Wzór na sinus sumy
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Krok 2: Podstawiamy α = 45°, β = 30°
sin 75° = sin(45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
Krok 3: Podstawiamy wartości
sin 45° = √2/2
cos 30° = √3/2
cos 45° = √2/2
sin 30° = 1/2
Krok 4: Obliczamy
sin 75° = (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2)
= (√2·√3)/4 + √2/4
= (√6 + √2)/4
Odpowiedź: sin 75° = (√6 + √2)/4 ≈ 0,966
WZORY NA SUMĘ I RÓŻNICĘ:
- sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
- sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
- cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
- cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Zadanie 9: Własności funkcji
Zadanie (4 pkt):
Dla funkcji f(x) = 2sin x + 1 określ:
a) Dziedzinę (1 pkt)
b) Zbiór wartości (2 pkt)
c) Okres podstawowy (1 pkt)
Rozwiązanie:
a) Dziedzina:
Funkcja sinus jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych
D = ℝ
b) Zbiór wartości:
Wyjściowa funkcja sin x ma ZW = [-1, 1]
Mnożenie przez 2: 2sin x ∈ [-2, 2]
Dodanie 1: 2sin x + 1 ∈ [-2 + 1, 2 + 1]
ZW = [-1, 3]
Alternatywnie:
Wartość najmniejsza: 2·(-1) + 1 = -1
Wartość największa: 2·1 + 1 = 3
c) Okres:
Funkcja sinus ma okres 2π
Mnożenie i dodawanie stałej nie zmienia okresu
T = 2π
OKRESY PODSTAWOWE:
- sin x i cos x: okres T = 2π (360°)
- tan x i cot x: okres T = π (180°)
- Dla f(x) = sin(bx): okres T = 2π/|b|
Zadanie 10: Twierdzenie sinusów
Zadanie (5 pkt):
W trójkącie ABC dane są: bok a = 8 cm, kąt α = 30°, kąt β = 45°. Oblicz długość boku b.
Rozwiązanie:
Krok 1: Twierdzenie sinusów
a / sin α = b / sin β
Krok 2: Podstawiamy dane
8 / sin 30° = b / sin 45°
8 / (1/2) = b / (√2/2)
16 = b / (√2/2)
Krok 3: Obliczamy b
b = 16 · (√2/2)
b = 8√2 cm
b ≈ 11,31 cm
Odpowiedź: b = 8√2 cm ≈ 11,31 cm
TWIERDZENIA W TRÓJKĄCIE DOWOLNYM:
Twierdzenie sinusów:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
Twierdzenie cosinusów:
a² = b² + c² - 2bc cos α
b² = a² + c² - 2ac cos β
c² = a² + b² - 2ab cos γ
Podsumowanie - Co musisz wiedzieć
1. Wartości kątów specjalnych (0°, 30°, 45°, 60°, 90°)
Naucz się ich na pamięć - oszczędzisz masę czasu!
2. Jedynka trygonometryczna
sin²α + cos²α = 1 - używasz jej w 80% zadań!
3. Znaki w ćwiartkach
Pamiętaj która funkcja gdzie jest dodatnia/ujemna
4. Rozwiązywanie równań
Algorytm: znajdź kąt podstawowy → określ ćwiartki → dodaj wielokrotności okresu
Wskazówki do matury z trygonometrii
- Rysuj okrąg jednostkowy - wizualizacja bardzo pomaga
- Sprawdzaj dziedzinę i zbiór wartości - sin i cos ∈ [-1, 1]!
- Pamiętaj o okresowości - nie zapomnij o wszystkich rozwiązaniach
- Weryfikuj rozwiązania - podstaw z powrotem do równania
- Znaj wzory redukcyjne - pozwalają sprowadzić każdy kąt do pierwszej ćwiartki
- W zadaniach z trójkątami szkicuj rysunek - ułatwia zrozumienie
Pozostałe artykuły z serii:
Potrzebujesz pomocy z trygonometrią?
Oferuję korepetycje z matematyki online i stacjonarne w Łodzi. Specjalizuję się w przygotowaniu do matury - szczególnie z trudniejszych działów jak trygonometria.
Skontaktuj się
Wojciech Ziółek
Korepetytor Matematyki Łódź | 10+ lat doświadczenia w przygotowaniu do matury
Specjalizuję się w przygotowaniu do matury z matematyki, ze szczególnym uwzględnieniem trudniejszych działów jak trygonometria, funkcje i geometria analityczna. Absolwent Uniwersytetu Medycznego w Łodzi, od 10 lat pomagam uczniom osiągać cele maturalne. Moi uczniowie regularnie zdają na 70%+ (poziom podstawowy) i 50%+ (poziom rozszerzony).