Zadania Maturalne - Funkcje Kwadratowe

Zadanie (3 pkt):

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = 2x² - 8x + 3.

a) Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli. (2 pkt)

b) Zapisz funkcję w postaci kanonicznej. (1 pkt)

Krok 1: Identyfikujemy współczynniki

f(x) = 2x² - 8x + 3
a = 2, b = -8, c = 3

Krok 2: Obliczamy współrzędną x wierzchołka (p)

p = -b/(2a) = -(-8)/(2·2) = 8/4 = 2

Krok 3: Obliczamy współrzędną y wierzchołka (q)

q = f(p) = f(2) = 2·2² - 8·2 + 3
q = 2·4 - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5

Odpowiedź a): Wierzchołek W = (2, -5)

Krok 4: Zapisujemy postać kanoniczną

f(x) = a(x - p)² + q
f(x) = 2(x - 2)² + (-5)
f(x) = 2(x - 2)² - 5

Odpowiedź b): f(x) = 2(x - 2)² - 5

Zadanie (3 pkt):

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -x² + 5x - 6.

a) Wyznacz miejsca zerowe funkcji. (2 pkt)

b) Zapisz funkcję w postaci iloczynowej. (1 pkt)

Krok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe

-x² + 5x - 6 = 0
Mnożymy obustronnie przez -1:
x² - 5x + 6 = 0

Krok 2: Obliczamy deltę

a = 1, b = -5, c = 6
Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4·1·6
Δ = 25 - 24 = 1
√Δ = 1

Krok 3: Obliczamy pierwiastki

x₁ = (-b - √Δ)/(2a) = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2
x₂ = (-b + √Δ)/(2a) = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3

Odpowiedź a): Miejsca zerowe: x₁ = 2, x₂ = 3

Krok 4: Zapisujemy postać iloczynową

f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
Pamiętamy, że a = -1 (z oryginalnego wzoru!)
f(x) = -1(x - 2)(x - 3)
f(x) = -(x - 2)(x - 3)

Odpowiedź b): f(x) = -(x - 2)(x - 3)

Zadanie (4 pkt):

Rozwiąż równania:

a) x² - 6x + 9 = 0 (1 pkt)

b) 2x² + 5x - 3 = 0 (2 pkt)

c) x² + x + 1 = 0 (1 pkt)

a) x² - 6x + 9 = 0

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia: (a - b)² = a² - 2ab + b²
x² - 6x + 9 = (x - 3)²
(x - 3)² = 0
x - 3 = 0
x = 3 (pierwiastek podwójny)

Alternatywnie przez deltę: Δ = 36 - 36 = 0, więc x = 6/2 = 3

b) 2x² + 5x - 3 = 0

a = 2, b = 5, c = -3
Δ = 5² - 4·2·(-3) = 25 + 24 = 49
√Δ = 7

x₁ = (-5 - 7)/(2·2) = -12/4 = -3
x₂ = (-5 + 7)/(2·2) = 2/4 = 1/2 = 0,5

x₁ = -3, x₂ = 0,5

c) x² + x + 1 = 0

a = 1, b = 1, c = 1
Δ = 1² - 4·1·1 = 1 - 4 = -3

Δ < 0, więc równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych
(parabola nie przecina osi OX)

Zadanie (4 pkt):

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² - 2mx + m² - 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

Krok 1: Warunek na dwa różne pierwiastki

Równanie ma dwa różne pierwiastki ⟺ Δ > 0

Krok 2: Identyfikujemy współczynniki

x² - 2mx + m² - 4 = 0
a = 1, b = -2m, c = m² - 4

Krok 3: Obliczamy deltę

Δ = b² - 4ac
Δ = (-2m)² - 4·1·(m² - 4)
Δ = 4m² - 4m² + 16
Δ = 16

Krok 4: Sprawdzamy warunek

Δ > 0
16 > 0 ✓

Odpowiedź: Dla każdej wartości parametru m ∈ ℝ równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste (ponieważ Δ = 16 > 0 zawsze).

Zadanie (4 pkt):

Rozwiąż nierówność: -x² + 4x + 5 ≥ 0

Krok 1: Znajdujemy miejsca zerowe

-x² + 4x + 5 = 0
Mnożymy przez -1:
x² - 4x - 5 = 0

Δ = (-4)² - 4·1·(-5) = 16 + 20 = 36
√Δ = 6

x₁ = (4 - 6)/2 = -2/2 = -1
x₂ = (4 + 6)/2 = 10/2 = 5

Krok 2: Szkicujemy parabolę

Współczynnik a = -1 < 0, więc ramiona paraboli skierowane w dół (∩)
Miejsca zerowe: x = -1 i x = 5

Krok 3: Określamy przedziały znaku

Dla a < 0 (parabola "smutna" ∩):
• f(x) > 0 między pierwiastkami
• f(x) < 0 poza pierwiastkami

Krok 4: Odczytujemy rozwiązanie

Szukamy gdzie f(x) ≥ 0
Funkcja jest nieujemna między pierwiastkami (włącznie z nimi)

x ∈ [-1, 5]

Zadanie (3 pkt):

Funkcja kwadratowa f(x) = -2x² + 8x - 3 ma wartość największą równą M. Wyznacz M.

Krok 1: Sprawdzamy współczynnik a

a = -2 < 0
Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc ma wartość największą w wierzchołku.

Krok 2: Obliczamy współrzędną x wierzchołka

p = -b/(2a) = -8/(2·(-2)) = -8/(-4) = 2

Krok 3: Obliczamy wartość funkcji w wierzchołku

q = f(p) = f(2) = -2·2² + 8·2 - 3
q = -2·4 + 16 - 3
q = -8 + 16 - 3
q = 5

Odpowiedź: M = 5

Zadanie (5 pkt):

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej f określ:

Wykres paraboli o ramionach skierowanych w górę, przechodzącej przez punkty (-1, 0) i (3, 0), z wierzchołkiem w punkcie (1, -4).

a) Miejsca zerowe funkcji (1 pkt)

b) Współrzędne wierzchołka (1 pkt)

c) Zbiór wartości funkcji (1 pkt)

d) Przedziały monotoniczności (1 pkt)

e) Postać iloczynową wzoru funkcji (1 pkt)

a) Miejsca zerowe:

Punkty przecięcia z osią OX: x₁ = -1, x₂ = 3

b) Wierzchołek:

W = (1, -4)

c) Zbiór wartości:

Parabola ma ramiona w górę (a > 0), więc ma minimum w wierzchołku.
Najmniejsza wartość funkcji: y = -4
ZW = [-4, +∞) lub y ∈ [-4, +∞)

d) Przedziały monotoniczności:

Funkcja jest:
• malejąca dla x ∈ (-∞, 1] (na lewo od wierzchołka)
• rosnąca dla x ∈ [1, +∞) (na prawo od wierzchołka)

e) Postać iloczynowa:

f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
f(x) = a(x - (-1))(x - 3)
f(x) = a(x + 1)(x - 3)

Aby znaleźć a, podstawiamy współrzędne wierzchołka W(1, -4):
-4 = a(1 + 1)(1 - 3)
-4 = a·2·(-2)
-4 = -4a
a = 1

f(x) = (x + 1)(x - 3) lub f(x) = x² - 2x - 3

Zadanie (5 pkt):

Pole prostokąta wynosi 48 m². Długość prostokąta jest o 8 m większa od jego szerokości. Wyznacz wymiary prostokąta.

Krok 1: Oznaczamy niewiadomą

Niech x = szerokość prostokąta [m]
Wtedy x + 8 = długość prostokąta [m]
(x > 0, bo to wymiar)

Krok 2: Zapisujemy równanie

Pole = szerokość × długość
x(x + 8) = 48
x² + 8x = 48
x² + 8x - 48 = 0

Krok 3: Rozwiązujemy równanie kwadratowe

a = 1, b = 8, c = -48
Δ = 64 - 4·1·(-48) = 64 + 192 = 256
√Δ = 16

x₁ = (-8 - 16)/2 = -24/2 = -12
x₂ = (-8 + 16)/2 = 8/2 = 4

Krok 4: Sprawdzamy warunki

x₁ = -12 < 0 - odrzucamy (wymiar musi być dodatni)
x₂ = 4 > 0 - akceptujemy

Szerokość: x = 4 m
Długość: x + 8 = 4 + 8 = 12 m

Krok 5: Weryfikacja

Pole = 4·12 = 48 m² ✓
Różnica: 12 - 4 = 8 m ✓

Odpowiedź: Wymiary prostokąta to 4 m × 12 m

Zadanie (4 pkt):

Funkcja kwadratowa f(x) = 2x² - 8x + 5 jest rosnąca w przedziale [a, +∞). Wyznacz a.

Krok 1: Wyznaczamy współrzędną x wierzchołka

a = 2, b = -8, c = 5
p = -b/(2a) = -(-8)/(2·2) = 8/4 = 2

Krok 2: Analizujemy monotoniczność

Współczynnik a = 2 > 0, więc ramiona paraboli skierowane w górę (∪)

Funkcja kwadratowa o a > 0:
• jest malejąca dla x < p (na lewo od wierzchołka)
• jest rosnąca dla x > p (na prawo od wierzchołka)

Krok 3: Określamy przedział rosnięcia

Funkcja jest rosnąca dla x ≥ p = 2
Czyli w przedziale [2, +∞)

Odpowiedź: a = 2

Zadanie (4 pkt):

Wykres funkcji f(x) = x² przesunięto o 3 jednostki w prawo i o 2 jednostki w dół. Zapisz wzór funkcji g otrzymanej w wyniku tego przekształcenia.

Metoda 1: Wzór na przekształcenia

Przesunięcie o wektor [h, k]:
f(x) → f(x - h) + k

Tu: h = 3 (w prawo), k = -2 (w dół)
g(x) = f(x - 3) + (-2)
g(x) = (x - 3)² - 2

Metoda 2: Przez wierzchołek

Funkcja wyjściowa f(x) = x² ma wierzchołek w (0, 0)
Po przesunięciu o 3 w prawo i 2 w dół:
Nowy wierzchołek: W' = (0 + 3, 0 - 2) = (3, -2)

Postać kanoniczna: g(x) = a(x - p)² + q
Współczynnik a nie zmienia się: a = 1
g(x) = 1·(x - 3)² + (-2)
g(x) = (x - 3)² - 2

Rozwinięcie (opcjonalnie):

g(x) = (x - 3)² - 2
g(x) = x² - 6x + 9 - 2
g(x) = x² - 6x + 7

Odpowiedź: g(x) = (x - 3)² - 2 lub g(x) = x² - 6x + 7

Postacie funkcji kwadratowej:

• Ogólna: f(x) = ax² + bx + c
• Kanoniczna: f(x) = a(x - p)² + q, gdzie W = (p, q)
• Iloczynowa: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

Kluczowe wzory:

• Delta: Δ = b² - 4ac
• Pierwiastki: x₁,₂ = (-b ± √Δ) / 2a
• Wierzchołek: p = -b/(2a), q = f(p) = -Δ/(4a)
• Wzory Viete'a: x₁ + x₂ = -b/a, x₁·x₂ = c/a

Pamiętaj:

• a > 0: ramiona w górę (∪), minimum w wierzchołku
• a < 0: ramiona w dół (∩), maksimum w wierzchołku
• Δ > 0: dwa pierwiastki, Δ = 0: jeden, Δ < 0: brak